令人振奋的思维进步

   来源:解放日报   作者:柳延延 

　　代数在不同的时代、不同的民族经历了大体相同的三个阶段：文辞阶段（如“各项之和与各项的次序无关”这类表述，中国的数学典籍中都是这样记载数学运算的）、缩写阶段和符号阶段。中世纪的欧洲是用minus（减）整个字表示符号“－”的，以后又用在第一个字母m上面加一画来表示。久而久之，字母本身被淘汰，只剩下所加的一画。

　　古希腊时期的代数大体也可以说是文辞代数，是印度人将文辞代数转变为缩写代数，再后来是阿拉伯人将印度（婆罗门文化）的算术和代数以阿拉伯文记录保留下来。阿拉伯人接受了印度的代数，却没有保留印度代数的缩写符号体系，而是退回到希腊的文辞代数阶段。直到文艺复兴时期，代数才开始进入自己发展的第三个阶段——符号阶段。

　　让我们比较一下文辞代数和今天所用的符号代数的表达及在这种表达背后的意蕴。今天我们用（a+b）2=a2+2ab+b2来表达文辞代数的这样一段话：“二数和的平方等于二数平方的和加上二数乘积的2倍”。符号表达是不是只是文辞表达的一种方便的速记法呢？或者我们问，符号体系的威力在什么地方呢？

　　首先，符号（字母）将代数从字句的束缚下解放出来。如果不用字母符号，则任何普遍陈述都要用一大串累赘的言语来表达，它的精确性会受到人类语言的种种含糊和误解的影响。并且，人类的语言在不同时代，不同地区都有自己的特殊规范和种种禁忌，而字母符号则少有这些限制，如a和x就不依赖具体事物而独立存在。符号有一种超越它所象征的事物的意义，这就是为什么符号不仅仅是一种形式的缘故。

　　其次，字母符号可以使人在变换文字表达式时便于操作，从而把任何陈述都变为许多等价的形式。正因为具有这种变形的能力，代数超出了方便速记的水平。最后，在引入字母符号之前，人们的运算只能论及个别的式子，如2x+3，3x-5，x2+4x+7，3x2-4x+5，只能一个个地按其本身的特点来处理。而字母符号体系使人们能从“某些”运算（某些特定数字的关系），转到“任何”、“一切”的数字运算，如一次式ax+b，二次式ax2+bx+c，每个这样的方程式现在都可以看作单独的一个类。正因为如此，才有可能得出作为一切应用数学基础的函数的一般理论。如果以前我们只能就某个运算讨论何为可能，何为不可能，那么现在我们的讨论就是面对普遍的类了，随着零的“被发明”（这是另一段故事了），整数、分数、负数、无理数等的运算得到了精确的定义。

　　代数运算的本质就是用符号代替具体的物的数量以及量与量的关系，没有这些符号，对象以及对象之间的关系就是人类对事物的量及事物量的联系的一些模糊的感知。用符号代替之后，对象及联系就变成了完全的抽象物和抽象关系，它只是某一特定运算的运算对象和运算过程而已。对早期的人类来说，他们的思想太具体、太依赖感性了。而抽象的代数运算所研究的，是除去其具体内容的对象之量，这是比较难以想象的。

　　我们都知道古希腊的数学是高度发展的，但在其数学推理的每一步上都还是与可见的外在形象同源。在他们那里，数的含义是指几何单元，探求宇宙的数学次序就是找出它的几何结构，用几何学表达他们所知道的一切。这意味着，对事物的数学处理就是把复杂的图形化简为简单图形或标准图形。同时也意味着，思维的抽象性还被一些具体性的片段纠缠着。

　　今天我们会觉得这一切是理所当然的，但使数学家的思维从对具体的物，具体的文辞（文字）与几何表达（图形）的依赖性中解脱出来，从空间概念的束缚中解放出来却经历了漫长时间。直到1597年，伽利略还在研制一种几何仪器，试图把无规则的几何图形化简为有规则的图形。这里值得特别指出的是，作为哲学家的笛卡儿对近代科学最重要的一个贡献是在数学方面，他发明了用代数方法解决几何问题的方法——解析几何学。直到今天，人们仍然在用这个称为直角坐标系的笛卡儿坐标系。

　　至此，隐藏在代数符号中的种种巨大可能性迅速地展开，现代数学的基本成分齐全了，数学开始了自己发展的繁荣时代。近代科学的数理化得益于数学的成熟。在今天的学者看来，科学是理性的典范，数学是科学的典范。因此，数学是人类理性思维方式的核心，我们确实能从人类对数以及数的关系的感知中，体验到人类思维中理性能力的发展和逐步成熟。多么令人振奋的思维进步啊！

　　（作者系上海师范大学哲学系教授）