曼宁 文根迈尔
不久前，在阿姆斯特丹参加会议时听到一位经理人的讲话，他把经济危机的一部分责任归咎于数学家，他认为数学模型是造成经济危机的一个原因。但同时他忽略了一个事实，那就是金融数学是建立在统计数学基础之上的，只能预测可能性和均值，股票交易只是一种概率游戏。很明显，有很多人都像这位经理人一样，在运用数学工具的时候显得非常天真。他们不懂数学工具后面的数学模型，而只是把它当作黑箱一样运用。这就解释了为什么他们会对于一些突发事件如此惊讶，如股票交易市场上发生的事件，那可能就是数学上所谓的“小概率事件”。概率虽小但并不表示不可能发生。
这个例子表明我们应该思考一下在日常生活中很多（经常不自觉地）数学的应用案例。数学不仅适用于看似很遥远的金融世界，也直接影响着现实生活。从计算机和因特网到飞机和结构工程，没有一项技术不建立在用数学确立的理论和模型之上。医生、社会学家、民意调查者以及政府在检验一种新药物的效果、拟定选举前景以及评估未来的税务预算时，都会用统计数学。而自然科学，尤其是物理学，更是特别深入地运用了数学方法。
这个世界的很多方面都能用数学来精确而清晰地描述。一些数学家相信，数学的结构和形式不是简单地由人构想出来的，而是独立存在的。他们的理由可能是新的理论和模型可以从完全抽象的数学结构中产生，且能精确描述世界的某些属性。物理学家们知道很多这样的例子：反物质、黑洞和粒子自旋在被证明确实存在之前，最初都是数学方程的纯理论解。
数学辩证法
如果数学结构独立于我们而存在，那么数学家就不是“发明”而只是“发现”了它们。我们无法真的证明这样一个纯理念的柏拉图世界存在于人们的思想之外的观点，但从感情上说，我还是觉得人类不是“发明者”，而是“发现者”。可以把我们对世界的认知想象成从高到低的一系列模型，每一个模型都有两层意思：一个建立在较高的纯数学语言的柏拉图层次，而另一个则处于较低层次，可以通过它来理解模型与现实世界的关系。
数学是一种认知的工具，反过来它又给文化提供了有力的实用工具。数学产生了一个抽象的杠杆，可以利用它来高度有效地理解和改造现实世界。正是依靠了应用数学，世界才有进步和繁荣。但也正是它，至少从远古时代起，就被用于发明新的战争工具，带来毁灭和死亡。数学也被滥用来模拟弹片对人体的伤害，因为出于“人道的理由”我们不能用活体的猪来做实验。在这里，启蒙和觉醒一直伴随着它们的邪恶伙伴。
即使是在和平年代，天真地把数学工具当黑箱来用也有一定的危险，而且不仅是在股票市场。举个例子，当用Google搜索信息的时候，有谁思考过它是怎么运行的呢？它的算法很好，但有缺陷。我们没有意识到搜索引擎怎样筛选信息来刻意控制我们，并窥视我们的兴趣。类似的事情也发生在金融市场的主导者身上——至少是他们中间的那些更天真的人。他们盯着监视器，然后根据上面显示的信息来决定他们的投资方向，而没有深入了解信息是怎样产生的。结果表明，信息通常是对的，但偶尔也会严重犯错。
金融世界建立在数字的基础之上，而数学的历史起源于计数。计数是一种度量方法， 1、2、3等自然数树立了标准，我们的祖先就这样建立了原始的数学。计数牲口或者度量装满谷物的容器，使人们第一次学会了提前计划。某个阶段，手指计数达到了极限，他们就用棍子、石头或刻痕来计数。这使计数更抽象化和更有效，因为有些符号不再只代表1，也代表10或者60。此外，出现了四则运算那样的简单计算操作。这就是最简单的数字计算的起源，起初只用自然数。这时数字仍然代表实物或来自物质世界的数值：原始的数学是应用数学。只是随着抽象程度的增加，纯粹数学才发展起来。
计算和书写的发明使得复杂的管理系统成为可能，这就诞生了有着高度劳动分工的更发达社会。一个很好的例子是苏美尔国王舒尔吉（Shulgi）进行的管理改革，据说舒尔吉曾在公元前2047年到公元前1999年统治乌尔王国。他想记录能从事工作的人口数量，并更有效地使用他们。当然最根本的目标还是为了拥有一支具有最强战斗力的军队，而那需要一个有效率的经济保障。舒尔吉为工作量制定了一个标准度量，它相当于一组工人在六十分之一工作日（大约十二分钟）完成的工作量。因此监工们就可以提前安排他手下的人完成特定工作所需要的时间，这个工作标准即使在今天看来也是非常先进的。
规律的本源
古希腊是西方文化中数学发展的一个转折点，“数学”一词源自古希腊语，最早是从“μ?琢θημα”这个词衍生出来的，它代表已知的事物，即知识和科学。古代希腊人也奠定了纯粹数学的基础。他们通过划分整数得到了有理数，进而遇到了边长为1的正方形的对角线长度问题，发现它不可能是一个有理数！这是毕达哥拉斯学派的一个伟大发现。
在那个时代，欧几里得几何比其他迅速发展的数学分支更能代表纯粹数学，它让人们忽然发现了向着由无数多个无穷小的数学点构成的无穷大扩张的领域。这是抽象思维一个巨大进步。
聪明的希腊人轻易地将纯粹数学的新工具应用到工程和我们世界的基本问题，打开了新局面。昔兰尼的埃拉托色尼（Eratosthenes）成功地以令今人吃惊的精度估算了地球的周长。这位数学家知道，埃及的赛伊尼（即今天的阿斯旺）由于太靠近赤道，因此在夏至日中午，太阳垂直位于天顶，不会在地面上投下阴影。他比较了亚历山大城在同一天同一时刻的阴影。那儿更靠近北方，太阳位置更低。借助几何的知识，埃拉托色尼得出结论，赛伊尼和亚历山大城之间的距离应该是地球周长的五十分之一。
为了用这种角度测量的方法来估算地球的周长，他还需知道赛伊尼和亚历山大城之间的距离，现在知道此距离为850千米。埃拉托色尼假定它为5000希腊视距尺，或许他是通过古埃及的高度发达的管理层得知了这个信息（如通过沙漠骆驼商队或尼罗河轮船的旅行时间）。不管怎么说，他这样得出了地球周长是250 000希腊视距尺。换算成千米，这个数字与地球周长的现代值只差百分之一。
考虑到数据不很精确，埃拉托色尼的估算结果其实是惊人地准确——当然也有一点运气的成分。他用欧几里得几何来计算，同时做了三个假设：首先，地球是一个球体；其次，太阳很远，因此太阳射向地球的光线是平行的；第三，赛伊尼和亚历山大城位于同一经度。于是，埃拉托色尼采取了现代科学家的做法：先建立一个数学模型，输入测量的数据，最后得到地球周长。这个数字远远超过了当时人们通常应用的尺度——即与人们生活密切相关的小圈子的尺度。这个关于地球的发现标志着人类已经有了巨大的智力飞跃。
构建物理模型
用数学模型的方法来思考的实践，从古代的本轮一直延续到现代基本粒子物理学的标准模型。前者被希腊天文学家托勒玫（C.Ptomaeus）用来描述观察到的行星运动，后者描述基本粒子和它们之间相互作用。作为一个定量模型，它可以把微观世界中粒子的运动表示成精确的数字。然而，物理学家首先要准确调整二十几个“自由参数”，它们被认为是模型机器的“螺丝钉”。这种“拧螺丝”的活动是任何力图尽可能精确描述一个确定现象的模型所具有的特征。
模型比理论要踏实得多。一个好的理论只需要很少的自由参数，但在理想情况下，它们可以描述整个世界——至少高度理想化的世界。所以理论源自这样的观念：在现实世界之外存在一个能用数学描述的实在。物理学家又为我们提供了一些好例子：经典力学通过假定全部质量都集中在重心，从而能对现实物体进行理想化的数学处理。
这个假设大大简化了物体的数学化处理，使得英国物理学家牛顿得出了他那著名的引力定律。这个定律指出，质量分别是m1和m2的两个物体（如月亮和地球），都以F=G（m1·m2）/r2的力相互吸引。这里r是它们重心之间的距离。从数学角度看，常数G和变量r，m1和m2都是自由参数，即方程里面的“螺丝钉”。但变量的指数是精确的“2”，而不是2.000 03或者1.999 995。牛顿的理论精确确立了这个“2”。
宇宙的生命观
当一种新理论代替牛顿引力定律时，改变的不仅是方程，整个理论的数学结构都随之改变。这个新理论就是爱因斯坦的广义相对论。它以更一般的形式，将引力描述为质量引起的四维时空弯曲的几何结果。广义相对论甚至没有一个关于这个力的方程：牛顿引力定律只是作为一个特殊的极限情形出现。
所以理论没有最好，只有更好，它们受我们世界观的局限，而世界观本身也是不断变化的。牛顿的世界观仍然假定时间和空间（上帝赐予的）是绝对的。在传统的世界观逐渐被动摇时，爱因斯坦用他的两个相对论打破了这种世界观。相对论提供了一个更强大的数学工具盒。将它与天文观测、遥感技术相结合，20世纪的宇宙学已经可以把人类认识的世界扩展到整个宇宙。尽管宇宙大爆炸的时间远在人类出现之前，但现在已经成为小孩都知道的常识了，这是人类认识世界的另一个巨大的智力飞跃。
大爆炸理论也是一个现代的、数学化的关于宇宙起源的隐喻，宇宙学也有一个关于宇宙结局的隐喻：根据目前所掌握的知识，世界将随着宇宙的不断膨胀而冻结。因此，数学隐喻已成为除了模型和理论之外的第三个有力的认知工具。一个数学模型吸引着人们去创造更多的具有实际应用（例如制造机器）的模型，而数学隐喻则引发我们对目前认知进行反思。
工具的隐喻
隐喻将一些我们熟知的和不知道的事相比较，从而让我们更明确地认识自己。一个尚未成熟的数学隐喻是人工智能。一方面，它包含技术实现的计算机世界的某些特征。另一方面，它通常与计算机的硬件和软件一起，被用作展示生物大脑功能的图像。它以这种方式给我们这样一种感觉：我们明白所有器官中最复杂的大脑的一些事情，尽管对于大脑的研究仍然不能回答它是怎么运行的。
把电脑比喻成人的大脑是不太有道理的，电脑的功能更像是大脑中单个神经元。毕竟，计算机和神经元都有输入和输出。因特网是大脑更准确更适合的数学隐喻：在这个巨大而开放的网络中，计算机不停地产生新的联系，新的参与者加入，而另外一些关闭，就像大脑里的神经元一样。
这里，也可以反驳说计算机和因特网不是数学隐喻，而是技术隐喻。但事实并非如此。计算机比其他任何机器都更为数学化。现代计算机，即可自由编程的计算机的数学基础是“图灵机”。英国数学家图灵（A.Turing）设计了一种理想化的计算蓝图，它具有机械确定性的特点，这就是后来著名的“图灵机”。
这种机器同样可以模拟逻辑推理。在“图灵机”产生之前，和数学与逻辑相联系的大部分隐喻都是语言学的，推理和论证都被认为是潜在的说（或写）的行为。图灵的隐喻打开了我们想象，并且为现代计算机的发展铺平了道路。
最后，我们可以回归古典传统，问一下自己：互联网与大脑有什么关系？它改变了我们的科学认知吗？如果我们的思想和知识越来越复杂并不断转化为巨大的数据库和电脑网络，又会发生些什么？我相信数学的抽象思维将来会不断地在每个人的大脑中产生。无论如何这是肯定的，只要像芯片可以植入大脑这样的旧科幻小说式幻想不会成为现实。在那样的现实里，我们和周围的人以及电脑会以一种全新的方式被“网络”在一起，但这只是纯粹的猜测。
毫无疑问因特网正在改变我们的工作方式，处理信息和相互交流的方式。可从网络获得的知识正在大大增加，新闻传播的速度也比以前更快，每个人都在经历一场持久的加速。但同时，因特网的发展又暗藏着危机，可能使人们最终迷失在娱乐中，而不再思考。事与愿违，正是因特网破坏了人类的创造性思维。很多隐藏在它背后的数学黑箱可能会使人们失去洞察。然而，由于人类具有很强的适应性，所以在未来，数学仍将是人类认知大自然的有力工具。
［本文原名为“The Tool of Knowledge”,发表于德国《马普研究》杂志(Max Planck Research )2009年第一期。作者为德国波恩马普数学研究所名誉所长曼宁(Yuri Manin)和德国《现代物理》杂志的科学记者兼编辑文根迈尔(Roland Vengenmayr)。由中国科学院成都山地灾害与环境研究所郭晓军硕士翻译，崔鹏研究员、李泳研究员校对审订，并经原文作者同意发表。］
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