“大美”数学
作者： 李勇
2014年07月04日 来源： 中国科学报
英国数学家哈代说数学家的模式像画家或诗人的模式，数学的思想犹如色彩和文字，必须以和谐的方式来组织；美是数学的第一标准。大寿星数学家盖尔芬德（Israel M. Gelfand, 1913~2009）说数学像音乐和诗歌，是美丽、简单、精确外加疯狂。数学形式的“外美”是显而易见的，而它更重要的是“内美”。内美蕴含着数学的实在和统一。如费曼欣赏的“美呆了的”欧拉公式（eiπ + 1 = 0），把5个最基本的数字联系起来了——不同起源、不同时代的数字（还有个“虚的”）竟然呈现那样的关系，犹如几块分离的化石证明一个生物时代的存在，证明了数学的实在。原来，那个“虚我”一点儿也不虚，它让数字完备了，也让数学圆满了。它还使时间成为另一维空间，使Lorentz变换成为Minkowski空间的旋转，它从经典的力学法则演化为量子的纠结……
数学更大的内美（“大美”，或康德所谓“壮美”），我想是它的“无用之用”，不是通常的“应用数学”的实用，而是它“在自然科学中的莫名其妙的效用”——物理学家维格纳（Eugene Wigner）1960年发表过一篇同题的文章（Communications in Pure and Applied Mathematics 13 (1), 1960）——似乎每个数学公式都荡漾着自然的旋律，显现了希尔伯特所说的“前定和谐”。例如，从数学概念生成的联络和纤维丛，竟然是物理学的规范场；以实验为基础的麦克斯韦方程组可以等价于一个简单的几何命题；一个自然而然的曲率的恒等式，却藏着引力的作用和宇宙演化的法则……正如维格纳说的，“人的头脑能将千姿百态的事物串联起来而不矛盾，是自然律的奇迹，也是能猜想出那些定律的人类思想力的奇迹。”难怪爱因斯坦要说，假如星光偏折的观测结果与他的计算不符，他会为上帝感到遗憾。
我们也可以说那不是奇迹，而只是自然实在与数学实在的“平行”。我们相信自然律的存在，那么也不妨相信数学的实在。数学不仅是自然的语言，自然本身就是数学结构，那就是一种独立的实在。所以，理论不是歌德说的“灰色的”，它也有常青的生命。证明“魔幻月光”（monstrous moonshine）猜想的博切尔兹（Richard E. Borcherds）就说“魔群”是独立的存在，连半人马座的“毛茸茸的棕色小生命”也会发现它。他还认为，好的科学知识就应该具有宇宙的普适性，外星文明也会有与广义相对论和群论等价的东西。不论宇宙的什么地方，甚至不论什么宇宙——假如宇宙真是多重的——它都在那儿，那大概就是数学吧。
社会学家也感到了数学的实在：“有谁知道，在微积分和路易十四时期的政治的朝代原则之间，在古代城邦和欧几里得几何之间，在西方油画的空间透视和以铁路、电话、远程武器进行的空间征服之间，在对位音乐和信用经济之间，存在着深刻的一致性呢？”（斯宾格勒《西方的没落·导言》）
当我们胸怀数学“内美”去感觉缤纷世界，就会感觉到“看不见的”前定和谐。当我们看到天上的彩虹，会发现写在空中的不是令人心旌摇荡的诗句，而是大自然的“最节省”法则（最小作用量原理）：自然不走中庸之道，它的和谐是在追求“极端”中实现的。它永远选择“最”，最简、最美，当然也最好。当数学的追求成为思维方式和生活态度，我们会更自然地追求卓越，追求纯净，追求美好。
（作者：中国科学院成都山地灾害与环境研究所研究员）
